椭圆的通径长公式及通径最短证明是什么？

椭圆的通径长公式是通过令x=c来推导的。椭圆的标准方程为x²/a²+y²/b²=1，其中c²=a²-b²。把x=c代入方程，可以求出y的坐标为±b²/a，所以通径的长度就是这两段相加，结果是2b²/a。对于双曲线，做法是类似的，同样得到2b²/a的通径长。

关于椭圆上任意两点的距离公式，可以设椭圆上一点的坐标为(x, y)。根据椭圆的定义，点到焦点的距离可以用焦半径公式表示为ex+a，其中e是离心率。椭圆也可以看作是动点到定点F和到定直线l距离之比等于常数e（0<e<1）的点的轨迹。

椭圆通径最短有几种证明方法。第一种是通法：设椭圆方程为x²/a²+y²/b²=1，过焦点F(c,0)的直线方程为x=ky+c，整理成关于k的函数式来分析。第二种是几何法：利用椭圆的第二定义，将椭圆上的点转化为点到相应准线的距离。还有焦半径公式也是基于第二定义证明得到的。如果椭圆焦点弦所在直线的倾斜角为θ，那么弦长公式为|MN|=2ab²/(a²-c²cosθ)。

在过焦点的弦中，通径是最短的，这个结论只对椭圆和抛物线适用。对于双曲线需要特别讨论：如果离心率e大于根号2，那么过焦点的弦以实轴为最短，即最短焦点弦为2a；如果离心率e等于根号2，那么通径和实轴等长，都是最短的焦点弦；如果离心率e小于根号2，通径才是最短的。

椭圆公式求半径方面，椭圆的一般式方程是Ax²+By²+Dx+Ey+F=0。椭圆是平面内到两个定点F1、F2的距离之和等于常数（大于|F1F2|）的动点轨迹，数学表达式为|PF1|+|PF2|=2a。半径在椭圆中通常指长半轴a或短半轴b，但在椭圆的标准形式中并不直接使用半径这个概念，更多是用于描述圆的几何性质。

关于通径长的公式总结，椭圆和双曲线的通径长都是|AB|=2b²/a，这里的a是长轴或实轴的一半，b是短轴或虚轴的一半，这个结论无论焦点在x轴还是y轴上都成立。抛物线的通径长则是|AB|=4p，其中p是抛物线焦准距的一半。