方法二则是代数方程法的思路。首先设出椭圆的标准方程为x^2/a^2+y^2/b^2=1，焦点F坐标为(c,0)。为了涵盖斜率不存在的情况，我们将过焦点的直线方程设为x=my+c，而不是y=k(x-c)。将直线与椭圆方程联立，利用弦长公式整理成一个关于m的函数式。通过求极值可以发现，当且仅当m=0时，弦长取得最小值。
如何证明椭圆通径是最短的？
从几何定义的角度补充，椭圆是平面内到两个焦点距离之和为常数的点的轨迹。其形状由离心率决定，范围从0（圆）到小于1。作为封闭的圆锥曲线，椭圆与抛物线、双曲线有相似之处，区别在于后者是开放的。圆柱体的平行于轴线的截面是矩形，非平行则是椭圆形。此外，椭圆也可定义为点到焦点距离与到准线距离之比（离心率）为常数的点的集合。
方法一采用纯几何视角来推导。我们要看的是过焦点F的弦AB的长度，它等于FA加FB。根据椭圆的第二定义，这个长度等于离心率乘以点A到准线的距离加上点B到准线的距离。这实际上等于2倍的离心率乘以AB中点M到准线的距离。
假设AB的中点为M，如果FA大于等于FB，那么焦点F就落在线段BM上。这时候，点M到准线的距离肯定大于等于点B到准线的距离，进而推导出M到准线的距离大于等于焦点F到准线的距离。而在通径的情况下，M到准线的距离恰好等于F到准线的距离，这意味着此时M到准线的距离取到了最小值，因此弦AB的长度也相应地达到了最小值。
最后来看通径长度的具体推导过程。设椭圆方程为x²/a²+y²/b²=1，焦点为(c,0)和(-c,0)，满足c²=a²-b²。通径是过焦点且垂直于长轴的弦，令x=c代入方程，得到c²/a²+y²/b²=1。化简后得到y²/b²=1-c²/a²=b²/a²，解得y=±b²/a。因此通径两端点为(c, b²/a)和(c, -b²/a)，其长度为b²/a - (-b²/a) = 2b²/a。这证明了椭圆中过焦点的弦中，通径是最短的。