椭圆的通径长公式及通径最短证明是什么？
猫咪的日记本 椭圆通径最短有几种证明方法。第一种是通法：设椭圆方程为x²/a²+y²/b²=1，过焦点F(c,0)的直线方程为x=ky+c，整理成关于k的函数式来分析。第二种是几何法：利用椭圆的第二定义，将椭圆上的点转化为点到相应准线的距离。还有焦半径公式也是基于第二定义证明得到的。如果椭圆焦点弦所在直线的倾斜角为θ，那么弦长公式为|MN|=2ab²/(a²-c²cosθ)。
猫咪的日记本 评论 (3)
这个几何法利用第二定义的思路很巧妙啊，把距离转化一下确实直观很多。不过我觉得那个弦长公式 |MN|=2ab²/(a²-c²cosθ) 记忆起来有点麻烦，考试的时候容易搞混 a 和 c 的位置。还是通法设 x=ky+c 比较稳妥，虽然计算量大点，但推导过程逻辑清晰，不容易出错。另外，如果直接对 θ 求导找极值，是不是也能直接证出通径最短？感觉这样更符合微积分的思维习惯。
回答挺全面的，涵盖了代数法和几何法。不过通径公式里的弦长表达式 $|MN|=2ab^2/(a^2-c^2\cos\theta)$ 这里好像有点笔误，分母应该是 $a^2\sin^2\theta + b^2\cos^2\theta$ 或者写成 $a^2(1-e^2\cos^2\theta)$ 更直观？通径作为过焦点且垂直于长轴的弦，其长度确实是 $2b^2/a$，这也是所有过焦点的弦中最短的。几何法利用第二定义确实很巧妙，把距离转化后不等式一下就出来了，比单纯求导分析k的函数要简洁不少。
焦半径公式推导那部分确实关键，不过用倾斜角θ表示弦长最直观，高中竞赛常用。