关于过焦点的弦长性质，通径是最短的结论仅对椭圆和抛物线成立。对于双曲线，则需要根据离心率e的大小进行分类讨论。如果离心率e大于根号2，那么过焦点的最短弦实际上是实轴，其长度为2a，而非通径。
椭圆的通径方程是什么？
若双曲线的离心率e小于根号2（且大于1，因为双曲线离心率恒大于1），则通径依然是过焦点的最短弦。但在e大于根号2的情况下，最短弦回归到实轴2a。这一结论表明，双曲线的几何性质随离心率的变化而变化，需仔细区分不同区间。
在椭圆中，通径长度|AB|始终小于或等于任意过焦点的弦长|MN|，而|MN|又小于或等于长轴长2a。这一不等式关系|AB|≤|MN|≤2a清晰地界定了椭圆中焦点弦长度的范围，说明通径确实是椭圆中最短的焦点弦。
此外，还提到了一个关于焦点弦长度的更复杂公式。当直线斜率存在时，焦点弦长度|MN|可能与斜率k、参数a、b有关。例如，当k=0时，弦长|MN|取得最大值2a。这一部分公式较为复杂，且原文截断，但暗示了焦点弦长度随角度变化的规律。
当双曲线的离心率e恰好等于根号2时，情况变得特殊。此时，通径的长度与实轴的长度相等，它们共同构成了过焦点的最短弦。这是一个临界状态，在此状态下，通径不再是最短的焦点弦，而是与实轴并列。
对于双曲线而言，计算通径的方法与椭圆类似，同样是令x=c。虽然具体的几何形状不同，但最终得出的通径长度公式也是2b²/a。这里需要注意的是，a代表长轴或实轴的一半，b代表短轴或虚轴的一半，无论焦点在x轴还是y轴上，这个结论都适用。
椭圆的通径是通过令椭圆方程中的x等于c来求解的，其中椭圆方程标准形式为x²/a²+y²/b²=1。代入后求得y的坐标为±b²/a。由于通径是指通径两端点之间的总长度，即正负两段长度之和，因此椭圆的通径长度为2b²/a。
抛物线的通径长度计算则有所不同。如果p定义为抛物线焦准距的一半，那么抛物线的通径长|AB|等于4p。这与椭圆和双曲线的通径长公式存在明显差异，体现了不同圆锥曲线在几何性质上的独特性。