设椭圆方程为标准形式，考虑内接正方形的顶点坐标关系。因为正方形中心在原点且边与坐标轴成45度角，顶点必然满足|x|=|y|。将x=y代入椭圆方程，得到关于x的二次方程。由于椭圆是凸闭曲线，该方程在第一象限只有一个正实数解。同理，x=-y也对应相同的几何位置。因此，满足条件的顶点只有一组四个，对应唯一的一个正方形。
如何证明椭圆的内接正方形只有一个？
从代数角度验证，设正方形顶点为(x,y)，由正方形性质及椭圆对称性可知顶点需满足x=y或x=-y。代入椭圆方程后，解出的x值对应唯一的长度。因为椭圆方程是二次的，且在对称条件下只有一组正实数解对应几何上的顶点位置，所以这样的正方形在几何上只存在唯一一种构型，即仅有一个内接正方形。