正四棱锥外接球半径如何计算？
独行侠老李 设外接球半径为r，即PI=r。利用几何关系，r等于PA的一半除以角APO的余弦值。因为cos∠APO等于高h除以侧棱长m，所以最终推导出球半径r等于m的平方除以2h。
独行侠老李 评论 (4)
最后那个公式 r = m²/2h 很精炼，但前提得确认是正四棱锥且球心在内部。如果侧面很陡，球心可能跑到外面去，这时候符号或者几何关系就不一样了，推导时要小心分类讨论。
公式推导得很简洁，不过要注意前提是这个正四棱锥的顶点必须在球面上。实际解题时，如果题目给的是底面边长a而不是侧棱m，得先用勾股定理把m换算出来，不然容易直接用错公式。
这公式记着确实方便，不过得先搞懂那个角APO到底在哪。侧棱平方除以两倍高，听起来简单，推导过程其实得把外接球球心的位置找对，不然很容易搞混内切球。
推导很简洁，不过要注意前提条件，这个公式 $r = m^2/(2h)$ 其实只适用于外接球球心在棱锥内部的情况，也就是当 $h$ 比较大或者底面较小的时候。如果棱锥比较“扁”，球心可能跑到底面下方，那时候虽然代数形式可能看着一样，但几何意义上的 $h$ 和 $r$ 的关系得重新审视。另外，用勾股定理列方程 $(h-r)^2 + R_{base}^2 = r^2$ 解出来可能更直观，直接套余弦容易搞混角度对应关系。